איברים חיוביים ותת־סדרה במקומות הזוגייםסדרות 472 · שיעור 12

סדרות · שאלון 472

שיעור 12: איברים חיוביים ותת־סדרה במקומות הזוגיים

פרק 3 – סדרה חשבונית ברמת 4 יחידות

1נוסח השאלה

2סעיף א – מספר האיברים

3סעיף ב – האיברים החיוביים

4סעיף ג – סכום הסדרה החדשה

5סעיף ד – האיברים במקומות הזוגיים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית: 86 , 82 , 78 , ... , −70.

א. מצאו את מספר האיברים בסדרה.

ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) מהו האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה? (3) חשבו את סכום האיברים החיוביים.

ג. בסדרה הנתונה החליפו את הסימנים של כל איברי הסדרה, והתקבלה סדרה חדשה: −86 , −82 , −78 , ... , 70. חשבו את סכום הסדרה החדשה.

📄 נוסח השאלה · המשך

ד. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה הנתונה.

סעיף א – מספר האיברים

d = 82 − 86 = −4

📐 הפרש הסדרה החשבונית

האיבר האחרון −70 הוא a_n:

−70 = 86 + (n − 1) · (−4)

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

−156 = (n − 1) · (−4)

n − 1 = 39

n = 40

📐 הפרש הסדרה החשבונית

d = a_{n + 1} − a_n

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d

סעיף א – מספר האיברים · המשך

n = 40

✅ פתרון סופי: 40 איברים

סעיף ב – האיברים החיוביים

הסדרה יורדת, לכן האיברים החיוביים הם בהתחלה. מחפשים את המקומות שבהם a_n > 0:

86 + (n − 1) · (−4) > 0

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

86 − 4n + 4 > 0

90 > 4n

n < 22.5

n טבעי, לכן n = 1 , 2 , ... , 22: יש 22 איברים חיוביים.

📐 איבר כללי בסדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d

סעיף ב – האיברים החיוביים · המשך

n טבעי, לכן n = 1 , 2 , ... , 22: יש 22 איברים חיוביים.

האיבר החיובי הקטן ביותר הוא האחרון מביניהם, a₂₂:

a₂₂ = 86 + 21 · (−4) = 86 − 84 = 2

S₂₂ = 22 · (86 + 2)2

📐 סכום בסדרה חשבונית

= 11 · 88 = 968

✅ פתרון סופי: (1) 22 (2) 2 (3) 968

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n(a₁ + a_n)2

סעיף ג – סכום הסדרה החדשה

כל איבר בסדרה החדשה הוא מינוס האיבר המקביל בסדרה הנתונה, ולכן גם הסכום שלה הוא מינוס הסכום של הסדרה הנתונה.

S₄₀ = 40 · (86 + (−70))2

📐 סכום בסדרה חשבונית

= 20 · 16 = 320

הסכום של הסדרה החדשה: −320

✅ פתרון סופי: −320

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n(a₁ + a_n)2

סעיף ד – האיברים במקומות הזוגיים

האיברים במקומות הזוגיים: a₂ , a₄ , ... , a₄₀, כלומר 82 , 74 , 66 , .... מדלגים כל פעם על איבר אחד, לכן ההפרש ביניהם הוא 2d = −8 – גם הם סדרה חשבונית.

במקומות 2, 4, ..., 40 יש 20 איברים.

S = 202 · [2 · 82 + 19 · (−8)]

📐 סכום בסדרה חשבונית

= 10 · [164 − 152] = 10 · 12 = 120

✅ פתרון סופי: 120

📐 סכום בסדרה חשבונית

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

📌 סיכום התשובות

סעיף א

סעיף ב

22 , 2 , 968

סעיף ג

−320

סעיף ד

120

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא